Apakah tim ahli matematika baru saja mengambil langkah besar untuk menjawab pertanyaan 160 juta dolar dalam matematika?
Mungkin. Para kru memang memecahkan sejumlah pertanyaan kecil lainnya di bidang yang disebut teori bilangan. Dan dengan melakukan itu, mereka telah membuka kembali jalan lama yang pada akhirnya mungkin mengarah pada jawaban atas pertanyaan lama: Apakah hipotesis Riemann benar?
Hipotesis Reimann adalah dugaan matematika dasar yang memiliki implikasi besar untuk sisa matematika. Ini membentuk dasar bagi banyak ide matematika lainnya - tetapi tidak ada yang tahu apakah itu benar. Validitasnya telah menjadi salah satu pertanyaan terbuka paling terkenal dalam matematika. Itu adalah salah satu dari tujuh "Masalah Milenium" yang ditetapkan pada tahun 2000, dengan janji bahwa siapa pun yang memecahkannya akan memenangkan $ 1 juta. (Hanya satu masalah yang telah dipecahkan sejak saat itu.)
Dari mana ide ini berasal?
Kembali pada 1859, seorang matematikawan Jerman bernama Bernhard Riemann mengusulkan jawaban untuk persamaan matematika yang sangat sulit. Hipotesisnya seperti ini: Bagian nyata dari setiap nol yang tidak sepele dari fungsi Riemann zeta adalah 1/2. Itu pernyataan matematika yang cukup abstrak, berkaitan dengan angka apa yang dapat Anda masukkan ke dalam fungsi matematika tertentu untuk membuat fungsi itu sama dengan nol. Tetapi ternyata hal itu menjadi masalah besar, yang paling penting berkenaan dengan pertanyaan tentang seberapa sering Anda akan bertemu bilangan prima saat Anda menghitung hingga tak terbatas.
Kami akan kembali ke perincian hipotesis nanti. Tetapi hal penting yang perlu diketahui sekarang adalah bahwa jika hipotesis Riemann benar, itu menjawab banyak pertanyaan dalam matematika.
"Begitu sering dalam teori bilangan, yang akhirnya terjadi adalah jika Anda mengasumsikan hipotesis Riemann, Anda kemudian dapat membuktikan semua jenis hasil lainnya," Lola Thompson, seorang ahli teori angka di Oberlin College di Ohio, yang tidak terlibat dalam penelitian terbaru ini, kata.
Seringkali, katanya kepada Live Science, sejumlah ahli teori pertama-tama akan membuktikan bahwa sesuatu itu benar jika hipotesis Riemann benar. Kemudian mereka akan menggunakan bukti itu sebagai semacam batu loncatan menuju bukti yang lebih rumit, yang menunjukkan bahwa kesimpulan asli mereka benar apakah hipotesis Riemann benar atau tidak.
Fakta bahwa trik ini berhasil, katanya, meyakinkan banyak ahli matematika bahwa hipotesis Riemann pasti benar.
Tetapi kenyataannya adalah tidak ada yang tahu pasti.
Langkah kecil menuju bukti?
Jadi bagaimana tim kecil ahli matematika ini tampaknya membawa kita lebih dekat ke arah solusi?
"Apa yang telah kami lakukan dalam makalah kami," kata Ken Ono, sejumlah ahli teori di Universitas Emory dan rekan penulis bukti baru, "adalah kami meninjau kembali kriteria yang sangat teknis yang setara dengan hipotesis Riemann ... dan kami membuktikan sejumlah besar bagian dari itu. Kami membuktikan sebagian besar kriteria ini. "
"Kriteria yang setara dengan hipotesis Riemann," dalam hal ini, merujuk pada pernyataan terpisah yang secara matematis setara dengan hipotesis Riemann.
Pada pandangan pertama tidak jelas mengapa kedua pernyataan itu begitu terhubung. (Kriteria ini berkaitan dengan sesuatu yang disebut "polinomial Jensen.") Tapi pada 1920-an, seorang ahli matematika Hongaria bernama George Pólya membuktikan bahwa jika kriteria ini benar, maka hipotesis Riemann benar - dan sebaliknya. Ini adalah rute lama yang diusulkan untuk membuktikan hipotesis, tetapi yang sebagian besar telah ditinggalkan.
Ono dan rekan-rekannya, dalam sebuah makalah yang diterbitkan 21 Mei di jurnal Proceedings of Natural Academy of Sciences (PNAS), membuktikan bahwa dalam banyak, banyak kasus, kriteria itu benar.
Tetapi dalam matematika, banyak yang tidak cukup untuk dihitung sebagai bukti. Masih ada beberapa kasus di mana mereka tidak tahu apakah kriteria itu benar atau salah.
"Ini seperti bermain Powerball satu juta angka," kata Ono. "Dan kamu tahu semua angka tetapi 20 yang terakhir. Jika salah satu dari 20 angka terakhir itu salah, kamu kalah. ... Itu semua masih bisa berantakan."
Para peneliti perlu menemukan bukti yang lebih maju untuk menunjukkan kriteria itu benar dalam semua kasus, dengan demikian membuktikan hipotesis Riemann. Dan tidak jelas seberapa jauh buktinya, kata Ono.
Jadi, seberapa besarkah makalah ini?
Dalam hal hipotesis Riemann, sulit untuk mengatakan seberapa besar kesepakatan ini. Banyak tergantung pada apa yang terjadi selanjutnya.
"Ini hanyalah salah satu dari banyak rumusan hipotesis Riemann yang setara," kata Thompson.
Dengan kata lain, ada banyak ide lain yang, seperti kriteria ini, akan membuktikan bahwa hipotesis Riemann benar jika mereka sendiri terbukti.
"Jadi, sangat sulit untuk mengetahui berapa banyak kemajuan ini, karena di satu sisi itu membuat kemajuan ke arah ini. Tapi, ada begitu banyak formulasi yang setara sehingga mungkin arah ini tidak akan menghasilkan hipotesis Riemann. Mungkin salah satu teorema yang setara lainnya sebaliknya akan, jika seseorang dapat membuktikan salah satu dari itu, "kata Thompson.
Jika buktinya muncul di sepanjang jalur ini, maka itu kemungkinan akan berarti Ono dan rekan-rekannya telah mengembangkan kerangka kerja mendasar yang penting untuk menyelesaikan hipotesis Riemann. Tetapi jika itu muncul di tempat lain, maka makalah ini akan menjadi kurang penting.
Meski begitu, ahli matematika tetap terkesan.
"Meskipun ini masih jauh dari membuktikan hipotesis Riemann, itu adalah langkah besar ke depan," Encrico Bombieri, seorang ahli teori bilangan Princeton yang tidak terlibat dalam penelitian tim, menulis dalam artikel PNAS 23 Mei yang menyertainya. "Tidak ada keraguan bahwa makalah ini akan menginspirasi pekerjaan mendasar lebih lanjut di bidang lain teori bilangan serta dalam fisika matematika."
(Bombieri memenangkan Fields Medal - hadiah paling bergengsi dalam matematika - pada tahun 1974, sebagian besar untuk pekerjaan yang berkaitan dengan hipotesis Riemann.)
Apa arti hipotesis Riemann?
Saya berjanji kami akan kembali ke ini. Inilah hipotesis Riemann lagi: Bagian nyata dari setiap nol yang tidak sepele dari fungsi Riemann zeta adalah 1/2.
Mari kita uraikan sesuai dengan cara Thompson dan Ono menjelaskannya.
Pertama, apa fungsi Riemann zeta?
Dalam matematika, fungsi adalah hubungan antara jumlah matematika yang berbeda. Yang sederhana mungkin terlihat seperti ini: y = 2x.
Fungsi Riemann zeta mengikuti prinsip-prinsip dasar yang sama. Hanya saja, ini jauh lebih rumit. Begini tampilannya.
Ini adalah jumlah dari urutan yang tak terbatas, di mana setiap istilah - beberapa yang pertama adalah 1/1 ^ s, 1/2 ^ s dan 1/3 ^ s - ditambahkan ke istilah sebelumnya. Elips-elips itu berarti seri dalam fungsi terus berlangsung seperti itu, selamanya.
Sekarang kita bisa menjawab pertanyaan kedua: Berapakah nol dari fungsi Riemann zeta?
Ini lebih mudah. "Nol" dari fungsi adalah angka apa pun yang dapat Anda masukkan untuk x yang menyebabkan fungsi tersebut sama dengan nol.
Pertanyaan berikutnya: Apa "bagian nyata" dari salah satu dari nol itu, dan apa artinya sama dengan 1/2?
Fungsi Riemann zeta melibatkan apa yang oleh ahli matematika disebut "bilangan kompleks." Bilangan kompleks terlihat seperti ini: a + b * i.
Dalam persamaan itu, "a" dan "b" adalah bilangan real. Bilangan real bisa berupa apa saja dari minus 3, hingga nol, hingga 4.9234, pi, atau 1 miliar. Tapi ada jenis nomor lain: angka imajiner. Angka imajiner muncul ketika Anda mengambil akar kuadrat dari angka negatif, dan mereka penting, muncul dalam semua jenis konteks matematika.
Angka imajiner yang paling sederhana adalah akar kuadrat dari -1, yang dituliskan sebagai "i." Bilangan kompleks adalah bilangan real ("a") ditambah bilangan real lainnya ("b") kali i. "Bagian nyata" dari bilangan kompleks adalah "a."
Beberapa nol fungsi Riemann zeta, bilangan bulat negatif antara -10 dan 0, tidak dihitung untuk hipotesis Reimann. Ini dianggap nol "sepele" karena mereka bilangan real, bukan bilangan kompleks. Semua nol lainnya adalah angka "non-sepele" dan kompleks.
Hipotesis Riemann menyatakan bahwa ketika fungsi Riemann zeta melintasi nol (kecuali untuk nol antara -10 dan 0), bagian nyata dari bilangan kompleks harus sama dengan 1/2.
Klaim kecil itu mungkin kedengarannya tidak terlalu penting. Tapi itu benar. Dan kita mungkin sedikit lebih dekat untuk menyelesaikannya.
