Perasaan fisika saya memberi tahu saya bahwa kecepatan membuang adalah kecepatan lepas.
Minimalisasi ini mungkin bekerja lebih baik dengan rasio perubahan energi total dari sistem asteroid ditambah bahan yang dikeluarkan untuk energi dari bahan yang dikeluarkan. Persamaan roket sangat membantu. Persamaan roket adalah kekekalan dari hasil momentum dengan
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
di mana V adalah kecepatan massa reaksi,? v dan? m adalah perubahan kecepatan dan kehilangan massa "roket," atau dalam hal ini asteroid, dan m dan v adalah massa awal dan kecepatan objek. Kami mengatur v = 0 dan mendapatkan
? v = V (? m / m)
dan kecepatan yang diintegrasikan adalah v = V ln (m_i / m_f), untuk m_i massa awal dan m_f massa akhir. Jika perubahan massa kecil kita miliki
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
dan momentum asteroid di ujungnya adalah p ~ = V (m_i - m_f). Kita sekarang membiarkan V = u - v_e, karena v_e kecepatan pelolosan dan u kecepatan objek dilepas. Ini berarti V adalah kecepatan benda buangan "pada tak terhingga."
Sekarang anggaplah kita ingin meminimalkan energi kinetik dari asteroid K = (1/2) p ^ 2 / m_f untuk yang melepaskan energi kinetik E = (1/2)? Mu ^ 2. Kami membangun rasio tanpa dimensi,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, penting untuk bekerja dengan rasio tanpa dimensi. Jadi kami meminimalkan ini untuk diberikan? M dan menghitung u. Jadi kami meminimalkan
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
dan ini nol pada v_e = u. Ini agak aneh mengingat rumus persamaan roket, tetapi saya akan membahasnya di bawah ini.
Kami kemudian mengambil turunan kedua untuk menentukan apakah ini maks atau min dan kami dapatkan
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
yang pada u = v_e adalah -2 <0 dan jadi itu adalah min, apa yang kita inginkan. Juga jelas bahwa u = v_e adalah energi kinetik minimum yang dapat kita berikan pada massa.
Kedengarannya aneh bahwa kita memiliki v ~ = V (m_i / m_f - 1), yang untuk V = u - v_e bernilai nol pada u = v_e. Namun, untuk u = v_e asteroid bergerak keluar hingga benda yang dibuang mencapai tak terhingga. Tujuan melakukan ini adalah untuk membuat perpindahan asteroid, dan ketika benda buangan mencapai “tak terbatas” asteroid akan mencapai jarak perpindahan yang jauh.
LC
