"Menuju tak terbatas dan melampauinya!"
Pernahkah Anda berpikir mendalam tentang slogannya Buzz Lightyear yang terkenal dari film "Toy Story"? Mungkin tidak. Tapi mungkin Anda kadang-kadang melihat ke langit malam dan bertanya-tanya tentang sifat ketidakterbatasan itu sendiri.
Infinity adalah konsep yang aneh, yang membuat otak manusia sulit membungkus pemahamannya yang terbatas. Kita mengatakan bahwa alam semesta mungkin tidak terbatas, tetapi bisakah itu benar-benar berlangsung selamanya? Atau digit pi setelah desimal - apakah mereka benar-benar berjalan tanpa henti, selalu memberi kita ketepatan yang jauh lebih tinggi tentang rasio antara keliling lingkaran dan jari-jari? Dan, bisakah Buzz benar? Apakah ada sesuatu yang tak terbatas?
Untuk mengatasi spekulasi yang melemahkan pikiran ini, Live Science meminta bantuan ahli matematika Henry Towsner dari University of Pennsylvania di Philadelphia, yang berbaik hati mencoba menjawab pertanyaan, "Bisakah Anda menghitung masa lalu tanpa batas?" (Diperingatkan: ini akan menjadi rumit.)
Infinity, kata Towsner, duduk di tempat yang aneh: Kebanyakan orang merasa mereka memiliki intuisi tentang konsep itu, tetapi semakin mereka memikirkannya, semakin aneh hasilnya.
Matematikawan, di sisi lain, tidak sering memikirkan infinity sebagai konsep sendiri, tambahnya. Sebaliknya, mereka menggunakan berbagai cara untuk memikirkannya untuk mendapatkan banyak aspek.
Misalnya, ada berbagai ukuran tak terbatas. Ini dibuktikan oleh ahli matematika Jerman Georg Cantor pada akhir 1800-an, menurut sejarah dari University of St Andrews di Skotlandia.
Cantor tahu bahwa bilangan asli - yaitu, keseluruhan, bilangan positif seperti 1, 4, 27, 56 dan 15.687 - berlangsung selamanya. Mereka tak terbatas, dan mereka juga apa yang kita gunakan untuk menghitung hal-hal, jadi dia mendefinisikannya sebagai "tak terhitung jumlahnya," menurut situs yang bermanfaat tentang sejarah, matematika dan topik lain dari kartunis pendidikan Charles Fisher Cooper.
Kelompok-kelompok dengan jumlah tak terhingga memiliki beberapa sifat yang menarik. Misalnya, bilangan genap (2, 4, 6, dll.) Juga sangat tak terbatas. Dan sementara secara teknis ada setengah dari jumlah mereka seperti apa yang tercakup oleh set lengkap bilangan alami, mereka masih jenis yang sama tanpa batas.
Dengan kata lain, Anda dapat menempatkan semua bilangan genap dan semua bilangan asli secara berdampingan dalam dua kolom dan kedua kolom akan menjadi tak terhingga, tetapi keduanya "panjang" yang sama dari tak terhingga. Itu berarti bahwa setengah dari tak terhingga yang tak terhingga masih tak terhingga.
Tetapi wawasan Cantor yang luar biasa adalah untuk menyadari bahwa ada sejumlah angka lain yang tak terhingga jumlahnya. Bilangan real - yang termasuk bilangan asli serta pecahan dan bilangan irasional seperti pi - lebih tak terbatas daripada bilangan asli. (Jika Anda ingin tahu bagaimana Cantor melakukannya dan dapat menangani beberapa notasi matematika, Anda dapat memeriksa lembar kerja ini dari University of Maine.)
Jika Anda menyejajarkan semua bilangan asli dan semua bilangan real secara berdampingan dalam dua kolom, bilangan real akan membentang melampaui tak terhingga bilangan asli. Cantor kemudian menjadi gila, mungkin karena alasan yang tidak terkait dengan karyanya tentang infinity, menurut Cooper.
Apa itu menghitung?
Jadi, kembali ke pertanyaan menghitung masa lalu yang tak terbatas. "Apa yang membuat Anda bertanya matematika adalah, 'Apa artinya itu?" Kata Towsner. "Apa maksudmu dengan menghitung infinity yang lalu?"
Untuk mengatasi masalah ini, Towsner berbicara tentang nomor urut. Tidak seperti angka kardinal (1, 2, 3 dan seterusnya), yang memberi tahu Anda berapa banyak hal dalam satu set, tata cara ditentukan oleh posisi mereka (pertama, kedua, ketiga, dll.), Dan mereka juga diperkenalkan ke dalam matematika oleh Cantor, menurut situs web matematika Wolfram MathWorld.
Dalam bilangan ordinal adalah konsep yang disebut omega, dilambangkan dengan huruf Yunani ω, kata Towsner. Simbol ω didefinisikan sebagai hal yang muncul setelah semua bilangan asli lainnya - atau, sebagaimana Cantor menyebutnya, urut pertama tanpa batas.
Tetapi salah satu hal tentang angka adalah bahwa Anda selalu dapat menambahkan satu lagi pada akhirnya, kata Towsner. Jadi ada yang namanya ω + 1, dan ω + 2 dan bahkan ω + ω. (Jika Anda bertanya-tanya, Anda akhirnya menekan nomor yang disebut ω1, yang dikenal sebagai ordinal tak terhitung pertama.)
Dan karena berhitung seperti menambahkan angka tambahan, konsep-konsep ini memungkinkan Anda untuk menghitung angka tak terbatas di masa lalu, kata Towsner.
Keanehan dari semua ini adalah bagian dari alasan ahli matematika bersikeras untuk mendefinisikan istilah mereka, tambahnya. Kecuali jika semuanya teratur, sulit untuk memisahkan intuisi manusia normal kita dari apa yang dapat dibuktikan secara matematis.
"Matematika memberi tahu Anda, 'Introspeksi mendalam, apa yang sedang dihitung?" Kata Towsner.
Bagi kita manusia biasa, ide-ide ini mungkin sulit untuk sepenuhnya dihitung. Bagaimana tepatnya matematikawan yang bekerja menangani semua bisnis lucu ini dalam penelitian sehari-hari mereka?
"Sebagian besar adalah latihan," kata Towsner. "Anda mengembangkan intuisi baru dengan eksposur, dan ketika intuisi gagal, Anda dapat mengatakan, 'Kita sedang berbicara tentang bukti ketat langkah-demi-langkah yang tepat ini.' Jadi jika bukti ini mengejutkan, kita masih dapat memeriksa apakah itu benar, dan kemudian belajar mengembangkan intuisi baru di sekitar itu. "
